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返回列表   发布于:2013-11-25
解析数学习题先要明确思维的目标指向

解析数学习题先要明确思维的目标指向

 

培养捕捉思维目标指向的能力,是培养数学思维能力尤其是思维敏捷性的重要途径.讲评和解析数学问题,一般要从大处着眼、然后从细微处着手,从大处着眼就要善于捕捉思维的目标指向.

1.思维的目标指向是切题的关键

不少学生在遇到较难的数学问题时,往往无从下手,不能把已知条件和求证、求解的目标联系起来.思维的目标指向不明,或思维目标指向方面的意识不强,是不容忽视的原因.思维的目标指向事关思维的敏捷性,是切题的关键,要快速解决数学问题,关键是要有捕捉思维目标指向的意念.

1捕捉数量关系的思维目标指向

1.老师给若干同学分苹果,每人分4个剩9个;每人分6个,则有一人所分到的苹果少于3个.有多少个苹果?多少个学生?

 [解析]两种分配方案的结果不是苹果有剩就是不够,找不到等量关系,因此把思维目标指向立不等式.且有两种方案:

1)设共有x个学生,依据第一次分配方案,苹果数为(4x+9);再进行第二次分配,其结果是:

0(4x+9)6(x-1)3,取整数解并验算得x=7()……

2)设共有y个苹果,则依据第一次分配方案学生数为(y9÷4;再进行第二次分配,其结果是:

0y6×[(y9)÷41]3,取整数解并验算得y37() ……

1捕捉数形关系(作辅助线)的思维目标指向

2.图示△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠CAB.讨论:ACCD是否等于AB

 

    [解析] ACCD△ACD中,AB△ABC中,不是同一个三角形的边,不便比较.应试作辅助线以获得替代ACCD或替代AB的一条直线,所以延长ACE,且有两种可能的方案:

1CECD.

            

CECD,则ACCDAE, 求证AE等于AB的条件,就看△ABE是否为等腰三角形,由于关键的已知条件是AD平分∠CAB,属于角的等量关系(∠CAD∠DAB),思维目标应指向∠ABE等于∠AEB成立的条件.可简明的推导出:

ACCDAB成立的条件是∠CAB45°

2AEAB

求证目标就演变成讨论CECD的大小比较,思维目标进而指向三角形中大角对大边.由于关键的已知条件是AD平分∠CAB,△BAE△DAE属于等腰三角形;另外图中存在许多公用同一个锐角的相似直角三角形,∠CED∠CDE的大小比较这一思维目标应指向有多个角的等量替换关系作支持.∠CED∠CDE都是作辅助线产生的未知大小的角,已知的是△ABC中的角,故又要捕捉到∠CED∠CDE∠ABC∠BAC的关系这一思维目标.

平面几何的求证,作辅助线既是重点也是难点,作辅助线的要领就是针对具体的思维目标.学生看一步走一步或许也能解答此题,但至少教师从捕捉思维目标指向角度进行小结点评并非马后炮,这是引导学生反思理清思路,对学生思维能力的训练才能达到应有的深度和广度,才能真正提高例题解析的有效性.

解答:

∵AEAB,AD平分∠CAB

∴∠AEB∠ABE

AF⊥BE且平分BEF

∠DBE∠DEB

∠CED∠CEB∠DEB∠ABE∠DBE∠ABC

∵AC⊥BC,∴∠CDE90°∠CED90°∠ABC∠BAC

从公用同一个锐角的直角三角形相似出发,亦能证明:∠CDE∠CAB,∠CED∠CBA

讨论:(1∠CDE ∠CED,即:∠CAB45°∠CBA,CDCE,ACCDAB

2∠CDE ∠CED,即:∠CAB∠CBA45°时,CECD, ACCDAB

3∠CDE ∠CED,即:∠CAB45°∠CBA时,CDCE,ACCDAB

2.发现思维目标指向的方法技巧

2设未知数明确已知条件与结论之间的关系

3.时钟的时针处在“1“2之间的某位置时,分针正好与时针垂直.请问此时是1时多少分多少秒?

 [解析]思维的目标指向是已知条件与要解决的问题之间的联系,这里的已知条件时针的位置是不明确的,所以解答此题不妨先把已知条件具体化,即设符合题意的时刻为(1+x)时,且x<1

 (1+x)这一时刻确定了时针的位置为:

 [(1+x)÷12×360°]

x及时针与分针垂直确定了分针的位置为:

 (1+x)÷12×360°90° (1+x)÷12×360°270°

时针指示出的刻度值x跟分针指示的刻度值是相等的.至此,目标指向非常明确,立关于未知数x的方程所需的等量关系已经确定.

x[(1+x)÷12×360°90°]÷360°x[(1+x)÷12×360°270°]÷360°

x1 4/11(小时) ≈ 2149秒,或x210/11(小时) ≈ 5433秒.

2设置未知数代表问题目标,将问题目标放到数学过程中进行分析与综合

设未知数还原数学现象的过程,正是立方程和立不等式解应用题使思维过程简化快捷的原因所在,因为它把数学现象形象化、过程化、具体化,实现了形象思维和抽象思维的契合.例1的解法正是这样一条具体思路.

2充分发掘已知条件,找到解决问题的过渡环节

4.如图所示,线段AB、BC在同一条直线上,E、F分别是AB、BC的中点,EF的长度为7cm ,BD1/3 AB1/5 CD.求AB、CD的长度.

       

[解析] E、F分别是AB、BC的中点,EF1/2AB1/2BC1/2(ABBC)1/2AC,

在已知EF长度的情况下,发掘出AC长度这一已知条件.

由于BD1/3 AB1/5 CD,BD的长度是解决问题的关键,思维的目标指向为BD表示AB、BC、AC、CD,用BDAB、BC、AC、CD关系立方程求BD”.即:

ABBC3BD(CDBD),AC3BD(5BDBD),2EF7BD,BD2cm ……

用发掘出的AC长度这一已知条件,来发掘出BD长度这一已知条件,就攻破了解决问题的隘口.

2对问题目标进行处理、归类或逆推,结合已知条件筛选方法

5.如图所示,PC和圆相切于C点,PB和圆相交于A、B.求证PC2PA·PB

         

[解析]先将原式变形为PAPCPCPB,由这一问题目标逆推图形关系可得△PAC△PCB相似的结论,求证几何中的比例问题又常常求助于相似形,解决问题的思维目标指向证明△PAC△PCB相似.由于∠P是两三角形的公用角,图形中又有圆周角、切线与过切点的割线之间的夹角,所以应从两对应角相等的方向证明两三角形相似.

2图解法、情境法释读数学现象与过程

用简洁的符号、图形或表格表述数学现象,使数学现象形象化、过程化,把文字表述繁琐的习题内容表达得简洁明了,使内容之间的相互关系容易释读,有了这捕捉和处理有效信息的步骤,接下来的思维过程及最终的解答过程就轻松多了.

捕捉思维目标指向能力的形成,先要掌握重要的概念、公式和定理,掌握解决简单问题的方法与技能,积累思维的素材和判断的依据;要精练具有一定覆盖面和一定综合性的典型题型;更要从解题思路方面进行反思、从方法技能方面进行小结,这种反思和小结,可使学生由点到面,模仿典型题型练相似或相联系的习题,能思考和解决与典型题型有联系的更多问题,起举一反三之效.

 

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